初中数学《3.4 方差》微课精讲+知识点+教案课件+习题
| 科学 | 全部课程 ↓ |
知识点：
1、方差与标准差
视频教学：
练习：
1．九年级（1）、（2）两班在一次数学考试中，成绩的平均数相同，但（1）班的成绩比（2）班整齐，若（1）、（2）两班成绩的方差分别为S12和S22，则（ ）
A．S12＞S22 B．S12＜S22
C．S12＝S22 D．S12与S22无法比较大小
2．已知同一事物的两个样本，甲样本的方差是（
A．甲的样本容量小 B．乙的样本容量小
C．甲的波动较小 D．乙的波动较小
3．为了了解某班同学一周的课外阅读量，任选班上15名同学进行调查，统计如表，则下列说法错误的是（ ）
阅读量（单位：本/周） | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
人数 | 1 | 4 | 6 | 2 | 2 |
A．中位数是2 B．平均数是2 C．众数是4 D．方差是1.2
4．若样本x1+1，x2+1，x3+1…，xn+1的平均数为10，方差为2，则对于样本x1+2，x2+2，x3+2…，xn+2的平均数和方差分别是（ ）
A．10，2 B．11，3 C．11，2 D．12，4
5．王老师以两个班各40名学生数学成绩的稳定性为例，请甲乙丙丁四位同学谈谈对平均数、方差的认识．则下列说法中错误的是（ ）
甲：若两个班的平均成绩相同，不一定能说明两个班的成绩一样稳定
乙：若两个班成绩的方差相同，不一定能说明两个班的成绩一样稳定
丙：只有两个班的平均成绩相同，才能客观地用成绩的方差比较两个班的稳定性
丁：成绩的稳定性只与平均数、方差有关，与两个班的学生人数无关．
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
课件：
教案：
一、探索内容
苏科版义务教育课程标准实验教科书数学九年级上册 《方差》
二、教材分析
对样本和总体来说，我们不但要关心它的集中程度，而且在前面我们已学习了 初步积累了 的 一些数学活动经验。在本节，教材立足于学生已有的生活经验和数学活动经验，从观察生活中普遍存在的 现象入手直观地认识 ，然后让学生经历观察、操作、画图等数学活动，分析 现象的共同规律得到 的基本性质，从而丰富对 的认识。本节内容也为学习 ，展开对 探索作好铺垫。
三、课标要求
1、能从统计的角度思考与数据信息有关的问题；能通过收集数据、描述数据、分析数据的过程作出合理的决策，认识到统计对决策的作用。
2、探索如何表示一组数据的离散程度，会计算方差和标准差，并会用它们表示数据的离散程度。
四、探索目标
〈一〉 知识与技能目标：
1、经历刻画数据离散程度的探索过程，感受表示数据离散程度的必要性。
2、知道方差、标准差的意义，会计算一组数据的方差与标准差．
〈二〉 过程与方法目标：
1、培养学生的计算能力.
2、培养学生观察问题、分析问题的能力，培养学生的发散思维能力.
〈三〉 情感与态度目标：
1、渗透数学知识抽象美及图像上的形象美，提高数学美的鉴赏力
2、培养学生认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯.
五、教学重点和教学难点
重点：。
难点：。
六、教学设备或教辅工具
多媒体、CAI课件。
七、教学过程设计
(一)创设情境 引入新课
1、图片欣赏：中国的三军仪仗队
师：中国的三军仪仗队在世界仪仗队的家族中是后起之秀，但与以独特的礼宾形势，赢得了世界各国首脑的赞誉。中国的三军仪仗队被美国总统称是他见过最出色的一个，英国女皇对他的评价是举世无双！
中国的三军仪仗队，他更是我们中华民族伟大精神的象征。
（学生深深被图片吸引，精神振奋，斗志昂扬）
2、导语
师：从中国的三军仪仗队我们体会到了整齐带给我们的魅力和震撼，在我们的数学中，除了用极差来描述之外,是否有更精确的方法来刻画呢？今天我们一起来探索这个问题。
[设计意图] 通过学生熟悉或感兴趣的场景和画面，激发学生学习的热情，让学生带着求知欲，进入今天新课的学习。
【评析】：本节课的引入部分从中国的三军仪仗队图片资料出发，振奋了学生的精神，.又创设了真实的问题情境，通过创设情境，诱发同学们来探索与解决问题，调动学生学习的主动性、积极性。这样既激发了学生的学习兴趣，使学生带着问题开始新课的学习，同时让学生体会到数学问题来源于实际生活．又为实际生活服务。这有助于学生感受数学学习、数学发展的自然性与必然性，有助于学生加深对数学知识本质与内在联系的理解，有助于学生更好地受到数学思想、数学方法、数学精神的熏陶。
（二）数学活动 初感新知
1）算一算
师：你回答的很全面,那我们继续一起来看这样一个问题
乒乓球的标准直径为40mm，质检部门从A、B两厂生产的乒乓球中各抽取了10只，对这些乒乓球的直径了进行检测。结果如下（单位：mm）：
A厂：40.0，39.9，40.0，40.1，40.2，39.8，40.0，39.9，40.0，40.1；
B厂：39.8，40.2，39.8，40.2，39.9，40.1，39.8，40.2，39.8，40.2.
你认为哪厂生产的乒乓球的直径与标准的误差更小呢?
①请你算一算它们的平均数和极差。
②是否由此就断定两厂生产的乒乓球直径同样标准？
[设计意图] 通过运算使学生积极动脑，主动参与，这样既集中学生的思维，把学生从生活情境中带入到数学的情境中，同时又复习了刚学过的知识，体现数学知识的连续性。）
师：通过上面的计算发现：平均数和极差都是一样的，极差只能反映一组数据中两个极值之间的大小情况，而对其他数据的波动情况不敏感。因此我们有必要探索更精确地刻画一组数据的波动情况的更好方法。那我们继续做下列有趣的数学活动。
（引导学生通过做数学的活动，获得新感受。）
2）画一画
师：请你将上述数据绘制成图
（通过这种实际的操作让学生经历知识的发生、发展过程，领悟数学思想方法在知识发生、发展过程中所起的作用，追踪解决数学问题的思维历程，培养学生动手操作的能力）
3）填一填
师：那怎样描述这些数据相对于它们的平均数的离散程度呢？请大家一起来填下面的表格。
A厂
X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | X6 | X7 | X8 | X9 | X10 | |
数据 | ||||||||||
与平均值差 |
B厂
X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | X6 | X7 | X8 | X9 | X10 | |
数据 | ||||||||||
与平均值差 |
4）算一算
师：1、分别把A厂和B厂所有差相加，
2、把所有差取绝对值相加，
3、把这些差的平方相加。
5）比一比
师：你认为哪种方法更能明显反映数据的波动情况？
【评析】：新课标明确指出：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。这就要求我们教师要结合学生的生活经验和已有的知识来设计富有情趣和意义的活动，联系生活实际，使学生切实体验到身边有数学，增强了学生对数学知识的应用意识。通过以上的数学活动，学生也初步感受了计算方差的部分过程，同时引出方差的概念也就水到渠成。
（三）合作交流 揭示新知
1、方差的概念
1）疑问
有什么更好的方法能准确反映数据的波动情况？同学们交流一下。
（思维由问题开始，问题既是思维的起点，又是思维的动力。）
2）获取新知
师：描述一组数据的离散程度可以采取许多方法，在统计中常采用先求这组数据的平均数，再求这组数据与平均数的差的平方和的平均数，用这个平均数来衡量这组数据的波动大小：
设在一组数据
（这里要充分发挥学生的主导作用，指明学生前进的方向）
3）归纳
师：请你归纳一下方差概念，并说说公式中每一个元素的意义。
[设计意图] 通过学生的数学活动和方法的介绍，学生自己很自然得出方差的定义，学生既知道了计算的步骤，也理解了概念，这样学生也自然把方差的定义记得牢固。）
4）谈一谈
师：根据前边的探索你能谈谈方差的作用吗？
（小组先讨论）
衡量一组数据的波动大小，一组数据方差越大，说明这组数据波动越大．
（教师要结合图象和算式是来指导，以便学生更好的理解和掌握方差的概念．）
5）说一说
师：说说你的疑问：
生：（1）为什么要这样定义方差？
师：教师引导，在表示各数据与其平均数的倔离程度时，为了防止正偏差与负偏差的相互抵消
生：（2）为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值，而要将它们平方？
师：教师引导，这主要是因为在很多问题里，含有绝对值的式子不便于运算，且在衡量一组数据波动大小的“功能”上，方差更强些.
生：（3）为什么要除以数据个数n？
师：是为了消除数据个数的影响．
[设计意图] 这部分目的在于解答学生的问题，消除学生的困惑。
6）试一试
通过计算机床甲、乙两组数据的方差，再根据理论说明哪个机床做得更好？
Ｐ４６
[设计意图] 学以致用，在学生理解了方差概念之后，再回到了引例中去解决实际问题，让学生能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，同时也前后照应。
2、标准差
1）探索与交流
师：方差的单位与愿数据的单位相同吗？应该如何办？
（提出问题，引发学生去思考和探索）
2）引出新知
师：在有些情况下，需要用到方差的算术平方根，即
并把它叫做这组数据的标准差.它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量.
例如：P 47
3）辩一辩
师：
计算标准差要比计算方差多开一次平方，但它的度量单位与原数据一致，有时用它比较方便
[设计意图] 在理解了方差的基础上学生对标准差的理解比较容易，这部分内容不需要花太多的时间。
（四）应用迁移 巩固提高
1、题型探索
题型1：考查方差与标准差的概念
⑴ 已知一样本数据为 12，15，18 ，17，13，其方差为 ，标准差是
点拨：根据方差概念先算平均数，再利用公式
答案：26 根号下26
题型2：对方差与标准差计算公式的理解
⑵ 一组数据的方差
点拨：对公式中的每一个字母要理解其意义 S2表示方差，理解其n表示样本容量，
答案：10 15
题型3：方差与标准差的意义
⑶ 在统计中样本方差和标准差可以近似的反映总体的（ ）
A ：平均状态 B：离散程度 C：分布规律 D：最大值和最小值
点拨：利用方差的概念不难得出答案。
答案：B
题型４：样本数据变化后，求相关新一组数据的方差
⑷ 一组数据的方差为S2，将该数据每一个数据，都乘以2，所得到的一组新数据的方差是（ ）
A、
点拨：实际上这类题也是对方差公式的灵活运用，通过推导有这样的结论： 一组数据
题型5：图象与表格
⑸（2006年浙江杭州中考题）小明和小兵两人参加学校组织的理化实验操作测试，近期的5次测试成绩如右图所示，则小明5次成绩的方差S12与小兵5次成绩的方差S22之间的大小关系为S12 S22．（填“＞”、“＜”、“＝”）
点拨：由图象知小明成绩的波动比小兵成绩的波动小，成绩更稳定，所以小明成绩的方差小
答案：＜
题型6：方差、标准差与其他相关知识的综合
（生活中的数学）
⑹ 李老师为了从王军、张成两位同学中选拔一人参加某项竞赛活动，对两位同学进行了辅导，并在辅导区间进行了10次测验，成绩记录如下表：（单位 分）
姓名 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
王军 | 68 | 80 | 78 | 79 | 81 | 77 | 78 | 84 | 83 | 92 |
张成 | 86 | 80 | 75 | 83 | 85 | 77 | 79 | 80 | 80 | 75 |
利用表中的数据，解答下列问题：
（1）填写下表：
平均成绩 | 中位数 | 众数 | |
王军 | |||
张成 |
（2）李老师从成绩记录表中求得王军10次测验成绩的方差S2王=33.2 ，请你帮助李老师计算张成10次测验成绩的方差S2张，则S2张=_____
（3）请你根据上面的信息，运用所学的统计知识，帮助李老师作出选择，并简要说明理由。
点拨：根据平均数、中位数和众数的概念很容易做（1）题， 由方差公式可以较快作出（2）题
答案：（1）
平均成绩 | 中位数 | 众数 | |
王军 | 80 | 79.5 | 78 |
张成 | 80 | 80 | 80 |
（2）13
（3）张成
尽管两人的平均成绩一样但张成的中位数和众数比王军的中位数和众数大，特别是张成的方差小，成绩更稳定，所以选择张成参加竞赛更好。
[设计意图] 1、这部分主要目的在于夯实基础，梳理知识点，对关键的知识点进行一一的强化，既突破重点有突破难点。从而提高学生分析问题解决问题的能力。
2、通过归纳提炼从而完善本节知识建构，也启发学生的思维，最终达到知识的迁移和巩固的目的。
2、练一练
教材P47 1、2
[设计意图] 再次强化应用，使知识升华。
（五）归纳总结 谈谈收获
师：同学们，通过我们今天的一起愉快的学习，你学到了数学的有关什么知识，请谈谈你的收获和体会？
【评析】： 这一环节重在对数学活动的反思，在经历猜测、收集与分析、交流的探索活动中，让学生敢于发表自己的观点，实现“人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展”这一新理念。
（六）课外练兵 延伸学习
P44 习题 2．1 １、２
（七）当堂测试 了解效率
————————————————————————————————
1、已知某样本的方差是16，其标准差是______
2、样本方差的计算式S2=
A、众数、中位数 B、方差、标准差
C、样本中数据的个数、平均数 D、样本中数据的个数、中位数
3、甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩为7环，10次射击成绩的方差分别是：S2甲=3，S2乙=1.2，成绩较稳定的是 __________（填“甲”或“乙”）。
4、已知一组数据X1，X2 。。。Xn 的方差为9，则数据X1 —2，X2—2 。。。Xn—2的方差是____， 标准差是____。
5、（2006年四川自贡中考题）某中学开展“八荣八耻”演讲比赛活动，九(1)、九(2)班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩(满分为100分)如下图所示。
（1）根据右图填写下表；
（2）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好？
平均分(分) | 中位数(分) | 众数(分) | |
九(1)班 | 85 | 85 | |
九(2班 | 85 | 80 |
答案：1、4 2、C 3、乙 4、 9 ， 3
5、（1）85、100；
（2）九(1)班好于九(2)班，因为九(1)班众数85较多，成绩较稳定；
（3）九(2)班，因为两个满分都在九(2)班，有更强实力。
[设计意图] 这里是反馈学生对知识掌握的程度，也是对所学知识的再现过程，对有困难的学生，教师要下来给予帮助。
八、板书设计
§2.2《方差与标准差》
一、方差的概念和公式 二、标准差的概念和公式 三、方差和标准差题型探索
九、教学反思
数学新课标指出：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。” “动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”“由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同、学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。” 本着这一基本理念，我始终以问题为主线设计好教学环节，使学生能顺着教师的思路，在趣味性情境中发现问题,在层层递进的问题链中,展开探索,主动观察、猜想、推理，比较、交流、概括,由数学活动去发现总结出要学会的内容，并能转化和应用，从而充分发挥学生的主体作用, 让数学课堂真正成为学生主动探索知识发展思维能力的舞台，这样教师就会真正从知识的传播者转变为学生学习的引导者和设计者，而学生也转变为学习的主动者和探索者。
本节课通过“情境－活动－提出问题－解决问题－归纳提炼→完善建构－运用” 引导学生主动参与勇于探究、勤于动手，乐于思考、尝试、质疑及应用整理知识、交流合作的能力等，突出创新精神和实践能力的培养，同时强调学习过程中学生的主动性和建构性，主张知识结构网络化。即在学生思考的基础上组织交流，在交流中引导学生认真观察、思索，找出共性，加以概括，形成概念，并对知识结构网络化。这种方式对揭示知识规律，认识知识本质有很好的帮助。
在对本节内容探索的过程的来说自己的教学理念有了新的变化，在课程目标上突出体现基础性，普及性和发展性；在数学学习的内容强调现实的、有意义的和富有挑战性；在数学学习的方式上教师提出问题，学生动手实践、自主探索与合作交流成为学生主要的学习方式；建立目标多元、方法多样的教学评价体系；并充分考虑和大力推进现代信息技术在数学教学中的应用。
“生活中我们与数学同行”，方差与我们的生活联系很紧密，如学生考试的成绩统计，我们关心学生每次考试成绩的波动情况：近几年某地气温的变化情况；选拔具有一定身高的学生参加体育比赛等。课堂内容生活化，本节内容让学生实实在在的感觉到生活中处处都有数学，并从中学会用数学的眼光去看待生活，用数学知识去分析和描述生活中的事物。从我国的三军仪仗队的图片中，也充分显示了数学带给我们的震撼和魅力。
初中生学习推荐：
图文来自网络，版权归原作者，如有不妥，告知即删